数形结合思想在解题中的应用

摘要：数学是学生需要掌握的一门重要学科，对数学的学习有助于学生提高自身的思维能力，其中数和形式数学中两个基本概念，也是同学们了解和掌握数学知识的基础。想要融会贯通属于行这两个数学基本概念，数形结合的思想是必不可少的。本论文就针对数形结合这一种数学解题思想进行阐述和讨论，首先对数形结合的概念和数学学习背景进行一定的总结，再研究数形结合思想在数学学习中的作用，最后分类讨论数形结合在实际解决数学问题中的应用，希望以此丰富数形结合思想的教学经验。

关键词：数形结合；解题；应用

一、绪论

（一）研究背景

数学是学生在学习过程中非常重要的一门学科。打好数学学习的基础，对学生未来走向更深入的学习殿堂，也能有重要的促进作用。随着教育思路和教育方式的提升改善，良好的数学思维成了人们学习关注的重点，比起题海战术，能够形成一个灵活延展的数学思维，对学生们来说具有更重要的意义，其中数形结合是学生在学习数学时的一种重要思想，掌握了数形结合这种思维方式，能够有效地提升学生的解题能力和解题速度，从更深远的角度来说，对同学们理解深奥的数学知识也有着促进作用。数字和图形是数学学习过程中，学生们常常打交道的两个方面。而数形结合这种学习思路思想就像是一道桥梁，将原本不相关的两个方式进行连接和沟通^[1]。这样原本晦涩难懂的数学问题就演变成了直观简单的图形问题，而学生在这种演化过程中也能够更深入的了解数学题目问题，找到更多的解题思路，帮助学生解题。数形结合方式的题目类型是很广泛的，比如说常见的函数问题，代数问题，集合问题等。对于数学初学者来说，数形结合的方式能够帮助他们更简单轻松地了解相关的概念性质问题，对于有一定学习基础的学生来说，数形结合思路也能够帮助他们提升解题的能力。比如说在遇到函数相关的问题时，学生可以将函数方程式通过数形结合的方式，绘制成直观的图像结合图像以及题目中给出的条件进行解题，简化解题过程明确解题思路。

（二）研究意义

在学生的学习生涯里，如何在学习数学的过程中形成合理的数学知识体系、培养起对数学思维的成熟运用，对其今后的学习深造和工作研究都有着至关重要的奠基意义，也能够为学生的数学素养的终身陪伴打下坚实的基础。在数学的学习中，数和形两个部分分别占据了数学的半壁江山，是构成数学这门学科的主要研究内容和研究对象^[2]。通过数与形，我们可以对各种实际存在的现实事物进行抽象提取并在数学中反映。当前学生学习过程中所接触的数学教材和教学环节中也无一不是两者的穿插教学。我国著名数学家华罗庚先生说过，“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”数与形是两个相互依存，互不分离的一个事物的两种表达形式。而在当下的教育过程中，数形结合的思想也无时无刻不被融入进教学的每一个阶段，从简单的一维数轴和数字比较，到二元一次方程组的函数图，再到更加复杂的多元函数和曲线方程的数形结合，都体现了数形结合思想对于教学理解和实践的重要意义^[3]。同时，这种重要性也体现在了各种考试题目中，考察数形结合的题目在各种考试过程中比比皆是，这也从另一个侧面体现出了数形结合的重要性。因此，掌握这种将数学两个核心要素相结合的方法，对于教师进行数学教学过程起到至关重要的作用。本文即对如何掌握数形结合进行论述，以帮助教学者对数形结合的相关教学进行统筹，有利于解决教学过程中遇到的困难，提升这一方面的教学能力，也能引导教育者带领同学们认识到数形结合的重要价值并加以深入学习，领会其中的本质，进而形成正确的数学逻辑思维。

二、数形结合在数学学习中的作用

（一）促进学生思维能力发展

新时代对于人才的要求也有了新的提升，在教育方面来讲，传统教育环境中的教学模式已经不再适用，数学教学改革在各个方面也井然有序地进行着。教师首先需要注意的就是，改变过往的题海战术转而进行学生数学思维与数学能力的提升、培养。随着学生年龄的增长，数学学习的难度也是不断增加的。在这种情况下，只有让学生的学习思维有真正的提升，才能够应对不同阶段，数学学习的要求和条件。数形结合在数学学习中发挥着巨大的作用，数形结合思想的发展对于学生数学思维和数学素养的提升意义重大。对于部分晦涩难懂的数学概念来说，用数形结合的方式，能够将一些概念有效地转化成简洁的图形方式，帮助学生更好的理解概念，并从这种转化的过程中进一步开阔自身的思维^[4]。数形结合的思想本质上就是教数学问题中的数与形这两个原本不相干的问题结合起来，如何对数学问题实质进行解读和研究。因此，强调数学中的数形结合思想对学生的数学学习来说，有显著的提升作用。一方面能够帮助学生积极主动探究数学问题的本质，另一方面也能够让同学们在更深入了解数学问题的基础之上，发散思维形成自己对数学学习的主观见解，提升数学学习效率。

（二）激发学生学习兴趣

对于部分没有掌握学习方法的学生来说，数学学习是困难枯燥的。其中，重要的一部分原因，就是因为数学概念涉及逻辑和思维上面的问题。对于没有正确掌握方法的学生来说，难以理解并且不能在脑海中将这些概念和逻辑进行直观的反映，这就进一步的导致了学生对于数学学习的兴趣的降低，也直接影响了学生素质数学素质的培养^[5]。而数形结合这种数学学习方式，能够为学生提供数学学习的直观的方式，将复杂的数学问题与简单灵活的图形问题结合起来，提升学生的学习兴趣也在一定程度上降低的学生的学习难度。在数形结合初中思维的应用过程中，学生的解题能力有所提高，同时又建立了数学学习的自信，这样形成了数学学习的良性循环，实现预期的数学教学效果。

（三）养成良好学科素养

学科素养是反映学生学习能力的一个重要因素，其中数学素养与同学们的数学学习能力息息相关，数学概念被认为是数学学科的逻辑起点，浓缩了数学知识点的精华，是人类的认识从理性到感性浓缩的智慧结晶，也是知识多次抽象凝聚的成果，数学概念反映了数学学科素养，同时就意味着这些枯燥单调乏味的逻辑和概念正是同学们数学学习的核心知识内容^[6]。在这种情况下如何将这些凝聚的知识点进行剖析帮助同学们更好地理解就成了教师的一个重要的研究问题。数形结合这种思想方法的运用，在一定程度上来说，正是对数学概念的另一种形式的演绎，同时也为学生们学科素养的提升进行了一定的帮助和促进，数形结合从直观上解释了数学逻辑，使学生不再是传统意义上，对数学概念的机械理解和背诵。

三、数形结合在解题中的具体应用

（一）初步分析数学问题

在实际教学中，老师利用数形结合思想能帮助学生更好地理解数学问题，剖析问题的重点，感受数学的本质。相对于学生来讲，在一般生活，或者是其余的某些方面都会了解到一点图形方面的知识譬如体温计，以及体温计自身的刻度、尺子以及，自身对应的刻度、日常上下学所走的路线、身边各个同学的位置等等^[7]。上述这些都是“生活中的数学”，是学生直接的生活经验，合理利用这些学生熟悉的经验，把它们整合到课堂中来，结合数与形相互整合的事例，就是一场生动的教学机遇，能够帮助学生更好地感受数学和生活的联系，认清知识的本质。数形结合思想是数学思维中重要的一个环节，学生对数形结合思想的使用体现了其对数学问题的剖析能力和解决能力，是学生数学能力的体现，因此教师要注重发展学生的数形结合思想，提高学生的数学素养。数学结合的思维模式主要是依据所对应的对象进行属性研究，并把图形和数字进行有效的融合，从而达到相互转换的目的，从而解决数学问题。这种“二合一”的思维模式对学生来说是一个难点，是需要教师重点和细致说明的，要让学生感受什么样的数学问题是可以数与形“二合一”的，一般来说，用图形来传达题意的数学问题需要用数形结合的思想分析问题、解决问题。

譬如，在教授一元一次不等式解答，以及一次函数图像、数及数轴、二元方程解及一次函数图像关系等诸多知识点时，都是极佳的滲透机会。事例，小明和妈妈吃完晚饭之后，一同去散步，从家中出发20后抵达，一个报亭，这个报亭和家的距离有0.9,妈妈立刻依照来时的速度返回家中。小明在报亭看漫画书花去了10,再花了15返回家中，你能够在线面的平面直角坐标系之中，表现出时间以及距离1之间的联系吗？中学数学老师一定要主动将日常中的现实问题，及探究规律相互整合，针对同学们多次开展，数形结合思想的滲透教育，逐步固化中学的数形结合思想进一步促使同学们养成在学习中，多次有效使用数形结合的习惯。并且，老师一定要教会同学们，在使用过程之中，尤其要注意使用要求，譬如，应该是知形确数，还是知数确形，在规律探究时要从特殊过度到一般，进一步总结出一般性的结论^[8]。

（二）巧用数轴解决问题

利用数轴能够解决不等式问题，在初中数学学习中，不等式是重要的学习内容，要求学生可以解一元一次不等式，在数轴中标出不等式的解集，这是中考必考知识点，也是典型数形结合问题。在解一元一次不等式时要注意两点，第一是未知数前面的系数是负数时，当系数化1后，不等式的不等号要变方向，若是“﹥”，要变为“＜ ”; 第 二是“≤、≥”表示实心，“＞ 、＜ ”表示空心。

【例1】不等式组的解集在数轴上表示为（）。

图1

如图 1，在求不等式的解集时，为了清楚地得到不等式在数轴上的解集，重点在于 x ＜ 1 是空心，x≥2 的方向， 因而选择 A。利用数轴也可以解决找中位数和众数问题，中位数是将各个变量按大小的顺序排列后，处于中间的变量值就被称为中位数，而众数是指所有变量中出现次数最多的数值，这是数学中常见的两个概念，很容易理解。中位数问题需要对数据进行排列，而众数问题需要对数值进行统计，利用数轴可以降低数值记忆的难度，使数值更加清楚直观地表现。

（三）利用直角坐标系展现函数

在初中数学的学习过程中，函数内容占据着很大的比重，包括常数函数、一次函数、二次函数以及反比例函数等，函数问题在解答的过程中逻辑性强，主要的方法是运行数形结合。在解函数问题时，要画出函数的图象，让复杂的函数简单形象化，要掌握函数关系式中参数的作用，同时教师在教学的过程中要培养学生认识函数关系的类型，每当学生看到题目就能马上判断出是什么类型的函数，就算题中不给图象，也可根据所学知识画出函数图象，解决数学难题。

【例2】如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=1/3x²与点B、C，则BC的长为（）。

图2

在解一元二次函数问题时，函数图象有四个要点，第一是看开口方向，二是看对称轴，三是看顶点坐标，四是看特殊点，如与x轴的交点或是与 y 轴的交点，如图2，此题中虽不知a的系数，但与y轴有交点，能够得出 A(0，3)，从而看出过A与x轴平行的直线是 y =3，A、B、C纵坐标相同，可以求出 B(－3，3)，C( 3，3)，最后得出 BC 的长度为 6。

（四）解决实际问题，加强生活联系

数学具有较强的逻辑性与抽象性，虽然中学生的思维能力和思维能力已经有了巨大发展，但是其想完全攻克数学问题是不现实的。根据中学生的思维特征，教师应该充分利用学生的实际生活经验展开教学，让学生依靠自身经验来体验数学概念和规律，拉近自身和数学的距离，对数学学习充满信心。根据新课改的要求，学生是课堂的主体，教师是引导者，学生学会学习是课堂的关键，通过丰富的教学活动让学生感受数学和生活的联系，学生能利用已有经验自主探索数学知识，并利用观察、比较、推理、抽象等能力解决实际问题，最终感受数学学习的喜悦。对于数学教材中实践性较强的数学知识，教师应为学生营造生活式的舞台，带领学生走出课堂，走进活动，让学生在直实的生活环境中学习新知识^[9]。数学是发展学生智力，提升学生综合素质的重要学科，但是由于数学科目的教学方式相对来说枯燥难理解，不少学生对于数学避之唯恐不及。其实教师把握好正确的教学方法，从实际问题运用数学知识，完全能够慢慢指引学生融入数学学科的学习。如果老师仍然是采用传统的以教师讲授理论知识为主的教学方式，学生的课堂学习效率低下，将知识看作是枯燥乏味的事情，磨灭学生的学习热情，难以培养出高素质人才。针对这一点，在实际教学中不妨将书本中的理论知识与生活实际相结合，通过不同方式将枯燥的数学知识表现出来，化抽象为具体，帮助学生更好的理解，提高课堂效率。

【例3】利用图形可以解决概率问题，在计算简单的概率问题时可以画树形图，让题目更加直观化、简单化。有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙口袋中有 3 个球，分别标有数字0，1，4。这6个球除了所标数字以外没有任何区别，从甲乙中各随机摸出一个球，用树形图的方法，求摸出两个球上数字之和为6的概率。

解决这个问题时，学生往往会被大段的文字和繁多的数字“吓住”或者对此感到厌烦，另外这道题设计概率问题，需要较强的逻辑思维能力，能单纯在脑袋中思考而获得答案的学生少之又少；而使用数形结合的方法，根据题意画树形图能够让题意简化，更容易得出答案，可以得出 P( 数字之和为6) =2/9．

四、提高学生数形结合解题意识的措施

（一）避免应试教育，激发主动学习

当下的社会应试教育思想深入人心，不少家长为了孩子日后的发展前景将孩子的学习时间一延再延，把分数的提高看做是评判学习能力的唯一标准。这种想法其实有些急于求成了，应试教育的优点是其能够在每次测试之后都非常直观和清楚的告诉应试者他在这一段时间的成绩变化，方便其为接下来的行动做出准备。但是同时也衍生出了一个问题，就是对于中学的孩子们来说，这种短期的明确的成绩往往会掩盖住更长一段时间跨度上的、更加重要的成长需要。虽然当前在中学环境中应试教育可以说已经被很多人关注和避免，但是这种急功近利的心理仍然存在于很多的教师和家长心中。在对学生进行教育时，与其过早的灌输一些孩子们现在还难以理解的理论知识使得学生对学习知识产生抵触的情感，不如引导学生自发的对学习内容产生好奇，对新知识有学习的渴望，也就是培养学生的自主学习意识^[10]。

（二）结合生活实践，创设学习情境

激发学生学习兴趣和将教学与生活相联系可以说是相辅相成的，以生活为媒介让孩子们能够在自己感兴趣的方面深入思考深入观察，鼓励学生进行自己的想象创造，培养学生思维的发散和创造能力。如果是学习没有任何兴趣作为媒介，那无论是多么精彩的课堂，学生也融不进去。想想看，学生会不会因为居里夫人的故事喜欢上化学？又会不会因为中华悠长的诗词文化而爱上语文？因而，中学数学教师若是想要在课堂教学中实现“智教”，首先就需要激发学生的学习兴趣。而将生活实际与数学理论结合起来能够很大程度上帮助学生理解内容，建立学习自信心和积极性，因此笔者认为教师应该在课堂上有必要融入生活情境来展开教学，这同时也是促进学生数学能力综合发展的基石。具体而言，教师需要立足于教材内容，然后分析中学生年龄特征、性格特点、认知水平等实际情况来抓住其思维活动的热点和焦点, 并以此为依据来寻找学生喜闻乐见的身边事、物等等来展开教学。例如学习图形时，完全可以通过日常生活中的事物或者是优美建筑，帮助同学们更好区别几种图形的特点、形状和应用；学习方向和角度时，可以在课堂中创设一个生活情境，设身处地的开展教学，鼓励学生积极发言解答或者是提出问题，老师则更多的通过鼓励正面性话语激发学生的参与感和主动性，以生活为背景展开数学教学，激发了学生的学习兴趣以及方便学生了解抽象的数学知识。

 （三）在实践中提高能力, 教学融合的有机提高

人的主观知识并不是凭空而来的，而是经过客观实践形成的。基于传统教师讲授为主导的课堂，学生更多地是被动主观知识，这就导致了学生形成机械化学习，并且受记忆规律的影响，这些机械化学习知识是很容易被学生遗忘的。显然，这种教育方式培养出来的学生并不符合现代社会要求实践能力非常强的用人标准。提升中学生的核心素养的内容包括对知识的应用能力和创新能力，首先要学会灵活运用知识，才能进而对知识创新。显然，传统上注重理论知识讲解的方式是没有办法帮助学生提高这些方面的能力。故而，笔者认为老师需要根据数形结合思想的具体教学内容来设定实践活动，从中加强学生的动手操作和发散学生的创新思维，更好地培养学生的应用能力和创新能力。当然，这同时也是教学做合一的有机提高。那么，教师具体该怎样做才能有机提高教学做合一的思想呢？首先教师精心设计以学生为主导的课堂教学来组织小组合作探究、形成师生之间的平等关系，从而激发学习的学习兴趣，主动地去动脑、动口、动手，在实践中提高知识应用能力和创新能力。其次，教师根据教学内容来创设具体的教学情境，如数字教学可以设置数学游戏情境、应用题教学可以模拟学生购物情境等等，让学生在熟悉的生活情境当中开展自主探究性学习，发挥创新思维的同时全面提高应用能力等等^[11]。

（四）重视课堂反馈，开展有效提问

一节课讲的好不好还是要由学生决定。学生在这一堂课中听懂了多少，学到了多少东西老师不能凭借自己的教学经验主观臆断。一节课结束后，老师要在私下询问不同基础同学的课堂感受，将学生的评价和反馈记录下来，对下一次的课堂设计进行及时更新和完善。要注意一堂课是不可能让所有学生都跟上进度的，基础好的同学可能还会觉得课堂节奏偏慢，这时老师就要丰富课堂层面。提问时除了常规题，是不是也可以设计一些附加题或课后思考题，让感兴趣的同学在学有余力的情况下进一步了解相关知识，提高学生的自学能力。对于一些基础慢跟不上课堂的同学老师则可以提前设置一些简单的引入性问题，加快学生进入课堂的状态。秉承“一个学生也不能落下”的教学原则，做到每堂课都对学生负责。中学数学课堂有效提问研究是中学课堂研究的一个小分支，目的是提高课堂效率，培养学生的数学思维和独立解决问题的能力，近年来备受教育者关注。新课程要求教师应改变以往 “满堂灌”和“一言堂”的传统教学方式，在教学设计中设置有效问题，通过有效提问引发学生的数学思考，从而在课堂上充分发挥“提问”的作用。老师也应紧跟教育改革形式，精心设计提问环节，体现学生的课堂主体地位，培养学生数学思维。

五、总结

上述内容是笔者对于数形结合思想在解题中的应用这一问题的经验之谈。首先对数形结合思想应用对于数学解题的重要性进行阐述，并进一步更加详细的针对数轴、直角坐标系、生活问题这几类经典中学数学题目的数形结合解题思路结合具体例题进行示范，最后结合相关文献以及经验实践整理提升学生数学素养的几点措施。

值得注意的是，学无止境，探索是永不止步的。关于探索数形结合思想在解题中的应用这一方面内容，我们需要探索的知识仍有很多。这就需要广大教育工作者结合自身的具体情况，立足教学内容来根据学生的学情、教学背景等等来进行探究。当然，笔者希望自身的经验之谈对于同仁的探究之路有所启发，进而为提高中学课堂教学质量和效率、培养中学生的数学素养来贡献自己的力量。

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